22 Mar Which function best describes the curve? with GeoGebra site

Исследовательская работа «Какая функция лучше всего описывает кривую?»

Для работы выбрал гору Фудзи (Токио, Япония) для фотосессии (фото 1).

(attēls 1)

Я выбрал фото, потому что в тот момент казалось, что форма горы на фото чем-то напоминает квадратичный график, т. в туннели или подбородок Эдварда Камарута).

Я поместил изображение в приложение «GeoGebra Classic 6» (см. рис. 2).

(attēls 2)

Я оставил 11 точек (от точки С до точки О) которые я думаю описал хорошо и правильно

форму соответствующего выступа земной литосферной плиты (см. рис. 3).

(attēls 3)

Я хотел выяснить, какая функция лучше всего описывает положение точек, и, поскольку в моем представлении она напоминала график квадратичной функции, я создал саму квадратичную функцию. Квадратичная функция может быть записана несколькими способами, например,

𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑛

где 𝑦 и 𝑥 — переменные, 𝑎 — направление и коэффициент наклона ветвей параболы, ℎ и 𝑛 — координаты вершины графика функции (ℎ;𝑛). Функцию можно записать в виде

𝑦 = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)

где 𝑦 и 𝑥 — переменные, а 𝑥1 и 𝑥2 — точки пересечения графика функции с осью 𝑥 при 𝑦 = 0.

Однако на этот раз я написал функцию в форме

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

где 𝑦 и 𝑥 — переменные, а 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — параметры функции.

Для создания квадратичной функции я выбрал три координаты отложенных точек, которые, по моему мнению, могли бы хорошо описать график функции, и создал три отдельных уравнения с вставленными в них координатами точек. Я выбрал точки J (0;0), N(4;-2) и O(6;-2,62). Ниже вы можете увидеть все три уравнения с координатами вставленных точек. Точка J:

0 = 02𝑎 + 0𝑏 + 𝑐

Точка N:

−2 = 42𝑎 + 4𝑏 + 𝑐

Точка O:

−2,62 = 62𝑎 + 6𝑏 + 𝑐

Далее я выяснил каждый параметр методом исключения Гаусса:

0 = 0𝑎 + 0𝑏 + 𝑐

{ −2 = 16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 −2,62 = 36𝑎 + 6𝑏 + 𝑐

𝑐 = 0 { 16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 = −2 36𝑎 + 6𝑏 + 𝑐 = −2,62

Поскольку 𝑐 = 0, я могу исключить его из двух других уравнений, поскольку оно никак на них не влияет.

𝑐 = 0 { 16𝑎 + 4𝑏 = −2 36𝑎 + 6𝑏 = −2,62

Далее я вычисляю параметр 𝑎 в двух нижних примерах методом сложения.

𝑐





𝑐 = 0 {36𝑎 + 6𝑏 = −2,62 24𝑎 = 0,76

𝑎

Затем значение 𝑎 подставляется в оставшееся уравнение с двумя переменными.

𝑐

𝑎

𝑐

𝑎

В результате получаются все значения параметров квадратичной функции и выглядит это так:

𝑦

График полученной функции показан ниже (рис. 4).

(attēlā 4)

Как видно, фантастически полученная функция не описывает качественно положение всех точек на графике, поскольку только 6 из отложенных точек находятся на графике или относительно близко к нему. Я пришел к выводу, что для создания квадратичной функции, качественно описывающей положение всех точек на графике, нельзя выбирать точки только с одной стороны возможной параболы (как я успешно продемонстрировал на предыдущей странице и на рисунке 4), поэтому я выбрал еще три точки, на этот раз точки J (0;0), O(6;-2,62), E (-6,37,-2,56), где точка J будет приблизительной вершиной графа возможная квадратичная функция, но каждая точка O и E будет на своей ветви.

Как я показал на предыдущей странице, я использую ту же версию квадратичной функции с возможностью записи (𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) и использую метод Гаусса для определения новых параметров моей квадратичной функции.

На этот раз, используя интернет-сайт wolframalpha.com, я получаю следующую квадратичную функцию:

𝑦 = −0,067789𝑥2 − 0,029932𝑥

Ввожу полученные функции в приложение "GeoGebra Classic 6" и просматриваю полученный график (рисунок 5).

(attēls 5)

Поскольку я хочу сравнить самостоятельно созданную функцию с созданным уравнением регрессии в этой отдельной работе, я также создал само уравнение регрессии.

На практике уравнение регрессии обычно строят с помощью метода «наименьших квадратов», при котором автор графика пытается построить его с как можно меньшей суммой квадратов разности между координатами y каждой точки и значение координаты y противоположной точки возможной кривой для всех отложенных точек. В этом случае отличным помощником является уже используемое приложение «Geogebra Classic 6», в котором с помощью нескольких кликов и острого слуха на уроках математики можно получить необходимое уравнение регрессии. Во-первых, уже отмеченные мною точки в подразделе "Электронная таблица" раздела "Вид" приложения перезаписывают уже существующие точки (см. рис. 6),

(рисунок 6) Я выбираю эти точки и, нажав на иконку «Анализ переменных» в левом верхнем углу, выбираю опцию «Анализ регрессии с двумя переменными». После этого я установил модель регрессии в виде полинома (в левом нижнем углу только что появившегося нового окна). Полученная модель регрессии (рис. 7), а также уравнение регрессии:

𝑦 = −0,062343𝑥2 − 0,046327𝑥 − 0,449803

(attēls 7)

В отличие от квадратичной функции, которую я создал, используя только три точки, которые, по моему мнению, лучше всего описывают положение всех точек на плоскости, модель регрессии была создана с использованием всех заданных точек, поэтому в отличие от графика функции, который я создал, график уравнения регрессии представляет собой не предполагается через как минимум три точки (для созданной мной квадратичной функции так и должно быть, потому что я создал ее, используя соответствующие три точки, через которые должен проходить график квадратичной функции, как показано на рисунке 5; если это не бывает, то нужно искать ошибку в расчетах ваших параметров).

Если сравнить два получившихся графика — график уравнения, которое я создал, и график уравнения регрессии, то можно сделать вывод, что

1) Мне удалось получить коэффициенты при 𝑎 даже относительно близко, по&#x44